Oscar
和Grammy
玩游戏,第一阶段两人轮流在有根树上走,走到叶子停止,经过的边有两种,标0
边或者标1
边,记录走下的01
串。设01
串的长度是$m$,第二阶段Oscar
将蛋糕切成$m$份,有些蛋糕可以是空的,按照第一阶段的01
串顺序依次拿蛋糕(1
代表Grammy
拿,0
代表Oscar
拿),两人都想获得最多的蛋糕,求最后Grammy
获得的蛋糕比例。
- $1\leq n\leq 2\times 10^5$
在第二阶段,Oscar
分蛋糕的时候,是对当前串寻找一个0
占比最大的前缀,然后拿走占比一致的蛋糕。
于是,在第一阶段时,首先树上每个节点即代表一个前缀,预处理出每个节点为前缀时0
的占比,在之后两人轮流取数时,Oscar
会取选择下一个节点轮流选择后0
占比最大的节点,Grammy
会选择0
占比最小的节点。
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| struct edge {
int s, t, typ;
};
struct status {
int cnt0, cnt1;
status(int a, int b) :cnt0(a), cnt1(b) {}
status operator+(const status& s)const {
return status(s.cnt0 + cnt0,s.cnt1 + cnt1);
}
};
vector<vector<edge>>tree;
double dfs(int p, int fr, int who, status now, double mx) {
// mx为路径中0比例最大的前缀中0的比例
if (tree[p].size() == 1 && fr) {
return mx;
}
double ans = 1.0 * who;
for (int i = 0;i < tree[p].size();i++) {
struct edge e = tree[p][i];
if (e.t == fr)continue;
double nxt = dfs(e.t, p, 1 - who, now + status(1 - e.typ, e.typ), max(mx, 1.0 * (now.cnt0 + 1 - e.typ) / (now.cnt0 + now.cnt1 + 1)));
if (who) { // Grammy选择(当前路径+接下来的路径)中0比例少的
ans = min(ans, nxt);
}
else { // Oscar选择0比例多的
ans = max(ans, nxt);
}
}
return ans;
}
void solve() {
int n;cin >> n;
tree.assign(n + 1, vector<edge>());
for (int i = 0;i < n - 1;i++) {
int u, v, t;
cin >> u >> v >> t;
tree[u].push_back({ u,v,t });
tree[v].push_back({ v,u,t });
}
double ans = dfs(1, 0, 1, { 0,0 }, 0.0);
cout << fixed << setprecision(15) << 1.0 - ans << "\n";
}
|
对一个正$n$边形,顶点按顺时针标为$0\sim n-1$,在每一个$i$和$(i+k)\bmod n$的顶点之间切一刀,问最终能切出多少块蛋糕。
- $1\leq n\leq 10^6$
- $2\leq k\leq n-2$
找规律可以发现除了$2\times k=n$时答案为$n$,其他情况都符合$n\times \min(n-k,k) +1$。
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| void solve() {
ll n, k;cin >> n >> k;
if (n == k * 2) {
cout << n << "\n";
}
else {
k = min(k, n - k);
cout << k * n + 1 << "\n";
}
}
|
无向图中有两种边,对原图进行删边,要求删完边之后图仍是联通的,且所有的轮边只在环中出现,所有的切边都不在环,判断是否存在合适的删边操作,若有再输出结果的连接情况。
- $1\leq n\leq 10^5$
- $n-1\leq m\leq 2\times 10^5$
- $1\leq u_i,v_i\leq n$
- $t_i\in \{“Lun”,“Qie”\}$
将所有的$Lun$边中成环的部分进行缩点,再根据$Qie$边对这些点生成一棵树。
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| struct E {
int id;
int s, t;
int typ;
};
vector<vector<E>>edge;
ll deep, top, sum, res = 0;
ll dfn[maxn], low[maxn], color[maxn], vis[maxn], stk[maxn];
vector<E>ans;
void tarjan(int v, int fa) {
dfn[v] = ++deep;
low[v] = deep;
vis[v] = 1;
stk[++top] = v; // 入栈
for (int i = 0;i < edge[v].size();i++) {
auto e = edge[v][i];
if (e.typ == 0 || e.t == fa) // 忽略Qie边和避免重边环
continue;
if (dfn[e.t] == 0) {
tarjan(e.t, v);
low[v] = min(low[v], low[e.t]);
}
else {
if (vis[e.t]) {
low[v] = min(low[v], low[e.t]);
}
}
}
if (low[v] == dfn[v]) { // 形成强联通分量或仅自己,缩点
color[v] = ++sum;
vis[v] = 0;
while (stk[top] != v) {
color[stk[top]] = sum;
vis[stk[top--]] = 0;
}
top--;
}
}
int fa[maxn];
int findfa(int u) {
if (fa[u] == u)return u;
return fa[u] = findfa(fa[u]);
}
void solve() {
int n, m;cin >> n >> m;
edge.assign(n + 1, vector<E>());
for (int i = 1;i <= m;i++) {
int u, v;cin >> u >> v;
string s;cin >> s;
int c = (s == "Lun" ? 1 : 0);
edge[u].push_back({ ++tot,u,v,c });
edge[v].push_back({ ++tot,v,u,c });
}
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
for (int i = 1;i <= n;i++) {
if (dfn[i] == 0) {
tarjan(i, -1);
}
}
// for (int i = 1;i <= n;i++) {
// cout << color[i] << " "; // 各个点的颜色
// }
// cout << "\n";
for (int i = 1;i <= n;i++) {
for (int j = 0;j < edge[i].size();j++) {
auto e = edge[i][j];
if (color[e.t] == color[i]) { // s,t相同颜色的轮边直接加入答案
if (e.typ == 1)
ans.push_back(e);
}
}
}
for (int i = 1;i <= sum;i++)fa[i] = i;
int cntc = sum;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
for (int j = 0;j < edge[i].size();j++) {
auto e = edge[i][j];
if (e.typ == 1) { // 跳过轮边
continue;
}
if (color[i] != color[e.t]) {
int f1 = findfa(color[i]);
int f2 = findfa(color[e.t]);
if (f1 != f2) {
fa[f1] = f2;
ans.push_back(e); // 用e将两个颜色连起来
cntc--;
}
}
}
}
if (cntc == 1) {
cout << "YES\n";
// 去除加入的双向边
map<pair<ll, ll>, bool>mp;
for (auto e : ans) {
if (e.s < e.t) {
mp[{e.s, e.t}] = true;
}
else {
mp[{e.t, e.s}] = true;
}
}
cout << mp.size() << "\n";
for (auto [e, f] : mp) {
cout << e.first << " " << e.second << "\n";
}
}
else {
cout << "NO\n";
}
}
|
每次抽卡的结果是3星
、4星
、5星非Up
、5星Up
四种结果中的一种。同时也符合如下的要求:
- 连续10抽中不会全是
3星
。 - 连续90抽中至少有一个是
5星非Up
或5星Up
- 每两个连续的
5星
中至少有一个是5星非Up
给出一个抽卡结果序列,判断该抽卡结果是否符合上述规则。
- $1\leq T\leq 10^5$
- $1\leq |S|\leq 10^6$
模拟。
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| void solve() {
string s;cin >> s;
bool hasup = true;
int cnt10 = 0, cnt90 = 0;
bool f = true;
for (auto c : s) {
if (c == '4' || c == '5' || c == 'U')cnt10 = 0;
else cnt10++;
if (cnt10 == 10) {
f = false;break;
}
if (c == '5' && !hasup) {
f = false;break;
}
if (c == '5' || c == 'U') {
cnt90 = 0;
if (c == 'U')
hasup = true;
else if (c == '5')
hasup = false;
}
else {
cnt90++;
}
if (cnt90 == 90) {
f = false;break;
}
}
f ? cout << "valid\n" : cout << "invalid\n";
}
|
在一个森林的补图中寻找哈密顿路径。
注:哈密顿路径指经过图中所有顶点一次且仅经过一次。
森林中有且只有一棵菊花是无解的。剩余情况中,假如树是一棵菊花,则将其分为花瓣和花心两部分,花瓣可以连成一条路径,花心单独成为一条路径,假如不是一棵菊花,则寻找树的一个叶子结点,再从叶子结点进行BFS,按照246…135…的顺序将点穿起来,加入答案。
最后将不能相连的一组花瓣花心分别接在答案的两边,输出答案即可。
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double ld;
const int maxn = 5e5 + 50;
const ll mo998 = 998244353;
struct edge {
int s, t;
};
vector<vector<edge>>tree;
int fa[maxn];
int rk[maxn];
int deg[maxn];
bool vis[maxn];
int findfa(int x) {
if (fa[x] == x)return x;
return fa[x] = findfa(fa[x]);
}
vector<int>ans;
vector<pair<vector<int>, vector<int>>>tmp; // 不能相邻的两条路
int tail, c;
void getpath(vector<int>v) {
if (v.size() == 1) {
vis[v.front()] = true;
ans.push_back(v.front());
return;
}
if (v.size() == 2) {
tmp.push_back({ {v.front()},{v.back()} });
return;
}
// 判断菊花
int n = v.size();
vector<int>wi, wj;
for (int i = 0;i < n;i++) {
int p = v[i];
if (deg[p] == n - 1) {
wj.push_back(p);
}
else if (deg[p] == 1) {
wi.push_back(p);
}
}
if (wj.size() == 1) {
tmp.push_back({ wi,wj });
return;
}
// 寻找叶子结点
for (auto i : v) {
if (tree[i].size() == 1) {
tail = i;
break;
}
}
// 分层bfs
c = 0;
wi.clear();
vector<int>x;
x.push_back(tail);
while (!x.empty()) {
vector<int>y;
for (auto p : x) {
vis[p] = true;
for (int i = 0;i < tree[p].size();i++) {
struct edge e = tree[p][i];
if (vis[e.t])continue;
y.push_back(e.t);
}
if (c)ans.push_back(p);
else wi.push_back(p);
}
c = 1 - c;
x = y;
}
for (auto i : wi) {
ans.push_back(i);
}
}
void solve() {
int n, m;cin >> n >> m;
tree.assign(n + 1, vector<edge>());
for (int i = 1;i <= n;i++) {
fa[i] = i;
deg[i] = 0;
vis[i] = false;
rk[i] = 1;
}
for (int i = 0;i < m;i++) {
int u, v;cin >> u >> v;
deg[u]++, deg[v]++;
tree[u].push_back({ u,v });
tree[v].push_back({ v,u });
int fu = findfa(u), fv = findfa(v);
if (rk[fu] > rk[fv])fa[fv] = fu;
else {
if (rk[fu] == rk[fv])rk[fv]++;
fa[fu] = fv;
}
}
map<int, vector<int>>mp;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
int f = findfa(i);
mp[f].push_back(i);
}
ans.clear(), tmp.clear();
for (auto i : mp) {
getpath(i.second);
}
if (ans.empty() && tmp.size() == 1) {
cout << -1 << "\n";
return;
}
if (tmp.size() >= 2) { // 只有两个菊花时要交叉放
auto [v1, v2] = tmp[0];
auto [w1, w2] = tmp[1];
for (int i = 0;i < v1.size();i++) {
ans.push_back(v1[i]);
}
for (int i = 0;i < w1.size();i++) {
ans.push_back(w1[i]);
}
for (int i = 0;i < v2.size();i++) {
ans.push_back(v2[i]);
}
for (int i = 0;i < w2.size();i++) {
ans.push_back(w2[i]);
}
tmp.erase(tmp.begin());
tmp.erase(tmp.begin());
}
vector<int>x, y;
for (auto [w, v] : tmp) {
for (auto i : w) {
x.push_back(i);
}
for (auto i : v) {
y.push_back(i);
}
}
for (auto i : x) {
cout << i << " ";
}
for (auto i : ans) {
cout << i << " ";
}
for (auto i : y) {
cout << i << " ";
}
cout << "\n";
}
int main() {
ll t;
cin >> t;
while (t--)
solve();
return 0;
}
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